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庞加莱说没说过上面这段，只出现在中文数学史中有关大厦的发言，有些存疑。

只是当时的数学大厦和物理学大厦一样，同样摇摇欲坠。

在那之后，数学家们就搞出来了一堆悖论，其中以罗素，也就是把陈慕武招入剑桥使徒社的那位哲学家，提出来的“罗素悖论”最为出名。

在一些科普书籍当中，罗素悖论被简化成为了理发师悖论。

在一个城市中，有一个理发师。

他宣称他将为城市里所有不给自己刮脸的人刮脸，同时他也只给这些人刮脸。

某一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他下意识就抓起了刮胡刀，但在动手之前突然想到了自己曾经说过的话。

如果他不给自己刮脸，那么他就属于“城市中不给自己刮脸的人”，所以他就要给自己刮脸。

但如果他给自己刮脸，他就又属于“给自己刮脸的人”，所以他就不应该给自己刮脸。

除了理发师悖论，罗素悖论还有另外一种通俗易懂的科普形式。

一个图书馆编写了一本书名词典，这本词典里包含图书馆里所有不列出自己名字的书。

那无论这本词典是否把自己名字列进去都不合适，其中的原理和上面的理发师悖论差不多。

罗素悖论的提出，狠狠地打那帮说“一切数学成果可建立在集合论基础上”的数学家的脸。

一个德国的逻辑学家戈特洛布·弗雷格，写了一本关于集合的基础理论的书籍。

在这本书马上就要交到印刷厂的时候，弗雷格收到了罗素关于罗素悖论的一封信。

他立刻发现自己这一本书被罗素悖论搅得一团糟，只能在书的末尾添了一句：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时，却发现所干的工作的基础崩溃了。”

罗素悖论发表之后，又有一系列悖论接踵而至：理查德悖论、培里悖论、格瑞林和纳尔逊悖论……

这些悖论被称为语义悖论，动摇了数学大厦的基础，引发了第三次数学危机。

前两次数学危机，第一次发生于古希腊时期。

毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现边长为一的正方形对角线的长度，既不是整数，又不是两个整数的比。

当时的古希腊数学家不知道根号二，更不知道世界上还有无理数这种东西存在。

解决不了这个问题的他们，最终选择解决提出问题的人：

他们把希帕索斯扔到爱琴海里喂了鲨鱼。

第二次数学危机，萌芽于古希腊的芝诺悖论，阿基里斯能不能追得上乌龟，运动的箭矢到底是动还是不动？

古希腊人第一次接触到了无穷小带来的问题，而这次数学危机真正爆发，则是到了牛顿和莱布尼茨的年代。

他们两个人发明了用起来很方便的微积分，只是有一个问题，微积分中的无穷小量，到底是不是零？

无穷小量可能会出现在分母上，所以它就不应该为零。

可如果把无穷小量看成是零，去掉那些包含它的项，得到的公式能在力学和几何学当中的证明是正确的。

当时有人批评微积分是“恶魔的把戏”，是“用双重的错误，偶然得到了科学但不正确的结果”。

这次危机直到十九世纪，以柯西为首的数学家们，完善了极限的具体概念之后，才最终得以解决。

至于这些由悖论引发的第三次数学危机，反倒是解决得最快的一次。

德国数学家恩斯特·策梅洛和亚伯拉罕·弗兰克尔·分别在1908年和1922年提出来了两套理论，这两套理论加在一起，就成为了Z（ermelo，策梅洛）－F（raenkel，弗兰克尔）公理体系。

这个公理体系将集合的构造公理化，来排除了像罗素悖论中这样的集合的存在性，算是解决了这场数学危机。

也就是在同一年，希尔伯特想到为已经爆发了三次的数学危机，找到一种普适的解决方案。

他提出了一个名为希尔伯特计划的想法，提出将所有现有理论都建立在一组有限的完备的公理上，并给出这些公理是一致的证明。

希尔伯特希望数学是完整的，也是可判定的，希望数学建立在严谨的逻辑之上，是世界上最无懈可击的真理。

希尔伯特计划中有这样一条，也就是所谓的完备性，人们可以从公理出发，推导出所有的定理来。

如果推导不出来，那不是上面这条完备性出了问题，而是个人能力出了问题。

公理是人们在长期实践中总结出来的基本数学知识，并作为判定其它命题真假的根据，不能被证明也不需要被证明。 ', ' ')